मुझे सदिश समष्टि आधार प्रमेय पर इस अतिरिक्त शर्त की आवश्यकता क्यों है?

अमूर्त बीजगणित पाठ्यक्रम के लिए मेरे पाठ्यक्रम नोट्स में यह प्रमेय शामिल है: मान लीजिए $V$ एक सदिश समष्टि है। यदि $L \subset V$ एक रैखिक रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय है, और $L \subseteq E$ की संपत्ति के साथ $V$ के सभी उत्पन्न करने वाले सेटों में $E$ न्यूनतम है, तो $E$ एक आधार है।

< br>"$V$ के न्यूनतम जनरेटर" से हमारा मतलब है कि सभी $\vec{v}\in E$ के लिए, सेट $E\setminus \{\vec{v}\}$ उत्पन्न नहीं होता है $V$।

सवाल यह है कि हमें इस प्रमेय में $L$ की आवश्यकता क्यों है? उदाहरण के लिए, यदि हम मानते हैं कि उपरोक्त प्रमेय सत्य है, तो हम $L=\{\}$ को खाली सेट मान सकते हैं। यह 'विशेष मामला' तब पढ़ता है "यदि $V$ के सभी जेनरेटिंग सेटों में $E$ न्यूनतम है तो $E$ एक आधार है" जो कि बहुत आसान है? और अधिक सामान्य?

यहां यह प्रश्न अत्यधिक संबंधित है: यह आधारों के लक्षण वर्णन को साबित करने का एक उपयोगी तरीका क्यों है? और वास्तव में, किसी तरह $L$ को प्रमेय में रखना उपयोगी है, लेकिन यह वास्तव में मुझे बहुत बेकार लगता है। उदाहरण के लिए, यहां एक और तरीका है जिससे मैं $L$ को इस कथन में शामिल कर सकता हूं "यदि $V$ के सभी जेनरेटिंग सेटों में $E$ न्यूनतम है तो $E$ एक आधार है" इस तरह से जो उपयोगी नहीं लगता:< br>
"यदि $L\subset E$ एक रैखिक रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय है, और $E$, $V$ के सभी उत्पन्न करने वाले सेटों में न्यूनतम है तो $E \cup L$ एक आधार है"। यह तुच्छ सत्य है, और उपयोगी नहीं है, मुझे कोई कारण नहीं दिखता कि पिछला कथन इस श्रेणी में क्यों नहीं आता।

जिस तरह से इस प्रमेय को व्यक्त किया गया है वह थोड़ा भ्रमित करने वाला हो सकता है, इसलिए मैं इसे रखूंगा थोड़ा और स्पष्ट रूप से:

इस प्रमेय की कुंजी यह है कि एक रैखिक रूप से स्वतंत्र सेट दिया गया है, हम एक आधार ढूंढ सकते हैं जिसमें इसे विशेष रूप से शामिल किया गया है। यह काफी उपयोगी हो सकता है!