आइए सभी सेटों की श्रेणी बनाने के लिए स्कोलेम के विरोधाभास का उपयोग करें!

मैं श्रेणी सिद्धांत को समझना शुरू कर रहा हूं, लेकिन एक समस्या है।

श्रेणी सिद्धांत के विभिन्न आधार हैं। उदाहरण के लिए:

मैं उनमें से किसी से भी खुश नहीं हूं, क्योंकि मैं ZFC के भीतर श्रेणी सिद्धांत का अध्ययन करना चाहता हूं।

स्कोलेम का विरोधाभास (जो विरोधाभास नहीं है) कहता है कि ZFC जैसे सेट सिद्धांत हैं गणनीय मॉडल. तो, आइए एक गणनीय मॉडल $M$ को ठीक करें। फिर हम "सभी सेटों की श्रेणी" को परिभाषित कर सकते हैं $\mathbf{Set}$ जिनकी वस्तुएं $M$ में हैं। बेशक, $M$ में सभी सेट शामिल नहीं हैं, लेकिन यह ऐसा व्यवहार कर सकता है जैसे कि यह होता है।

इस तरह, हम ZFC के भीतर श्रेणी सिद्धांत का कठोरता से अध्ययन कर सकते हैं। हालाँकि, इस दृष्टिकोण में कुछ समस्याएँ हो सकती हैं जिन्हें मैं जानने में असफल रहा। तो कृपया मुझे बताएं कि यह दृष्टिकोण ठीक है या नहीं।

आप जो चाहते हैं उसका उत्तर इस पेपर में दिया गया है।

फेफरमैन, एस. और क्रेसेल, जी., श्रेणी की सेट-सैद्धांतिक नींव सिद्धांत, मिडवेस्ट श्रेणी सेमिनार III की रिपोर्ट, 201-247

वे एक सिद्धांत विकसित करने के लिए लोवेनहेम-स्कोलेम निर्माण का उपयोग करते हैं जो ZFC के साथ समरूप है और सक्षम है श्रेणी सिद्धांत को औपचारिक रूप देने के लिए।

पीएस: ZFC + दो ब्रह्मांड अधिक सुविधाजनक है, और ZFC के साथ समरूप नहीं होने पर, अनुभव से पता चलता है कि इस सिद्धांत के साथ प्राप्त "ठोस" परिणाम हमेशा ZFC में सिद्ध होते हैं (आमतौर पर इसके कारण) प्रतिबिम्ब सिद्धांत) लेकिन इसे थोड़ा नमक के साथ लें क्योंकि यह केवल "ठोस कथन" के अनौपचारिक अर्थ को संदर्भित करता है।